7 Июль 2016

 

В.С. УТКИН, д-р техн. наук, Вологодский государственный университет

 

Для оценки качества продукции при ограниченной информации о показателе качества используются методы на основе теории возможностей. Исследуемая нечеткая переменная в этом случае характеризуется функцией распределения возможностей (ФРВоз), возможностью R и необходимостью N реализации события.

 

Одним из параметров ФРВоз является уровень риска ае[0,1], которым специалисту приходится задаваться. От принятого значения а зависит характеристика степени реализации показателя качества продукции. В [1] было рассмотрено влияние значения а на показатели качества продукции и приведена его зависимость от числа образцов при испытаниях. Чтобы облегчить специалисту выбор значения а, рассмотрим дополнительные условия для сужения интервала [0,1]. На практике часто используются треугольные, трапециевидные и экспоненциальные ФРВоз [2]. На рис. 1 показан график треугольной ФРВоз πx(x).


Рис. 1. Вид функции распределения возможностей πх(х): а = (Xmax+Xmin)/2, α∈[0,1]

 

Из рис. 1 видно, что ФРВоз (восходящая ветвь) имеет вид

πх(x) = ((a-x)a + (x-Xmin))/(a-Xmin). (1)

Для нисходящей ветви

πх (x) = ((x-a)α + (Xmax-x))/(Xmax-a).

 

Значение πx (x) возрастает с ростом α. Однако значение αmax ограничено сверху. Во-первых, показатель качества может, например, принимать только положительные значения. В этом случае значение x ограничено условиями x≥0 и πх (x)≥0. Крайний случай соответствует условию x = 0 и πх (0) = 0. Тогда из (1) amax = Xmin/a. Во-вторых, значение x может быть ограничено условием x≥xo, где x0 наименьшее (наибольшее для правой ветви ФРВоз πх (x)) значение, невыполнение которого приводит к браковке данной продукции. Кроме того, имеется ограничение по степени обеспеченности реализации значения x = x0. Если обеспеченность значения x0 xарактеризовать необходимостью (нижнее значение вероятности) реализации события x = x0 равной N0 = N(x0) = 1х (x0), то из (1) найдем αmax = 1-N0(a-xmin)/(a-x0).

 

Пример. Пусть известны Xmax = 10, Xmin = 6, a = 8, x0 = 5, N0 = 0,9. Тогда αmax = 1-0,92/3 = 0,4.

 

Рассмотрим экспоненциальную ФРВоз вида

πx (x0) = exp{−[(x-a)/b]2}. (2)

 

sm08_04-35
Рис. 2. ФРВоз πx(x), a = (Xmax + Xmin)/2, b = (Xmax − Xmin)/2√−lnα

 

На рис. 2 представлен график этой функции. Возможность реализации события обозначается R, а необходимость N(x) находится по условию N = 1-πх (x) [1].

 

Из рис. 2 видно, что с увеличением a возрастает πх (x) при одном и том же значении x, например при x = хmax. Для нахождения значения b задаются ae [0,1]. Чтобы облегчить выбор a, найдем его наибольшее возможное значение amax. При характеристике продукции в виде показателя x>0 всегда имеется некоторый порог его значения x0, ниже которого он не должен быть. Качество продукции характеризуется значением x и степенью обеспеченности этого значения, которая определяется интервалом [R,N = 1-πX(x)] (рис. 2). Например, при оценке качества древесины по влажности при x≤a будем иметь R = 1, при оценке прочности R = 1 при x≥a. В этих случаях ограничение по x0 приводит к ограничению N(x) или πх (x0) = α0.

 

Найдем наибольшее значение уровня риска αmax, при ограниченных условиях x≥x0, α≤αmax, используя (2). Чтобы обеспечить значение πх(x0) = α0 при x0, нужно найти значение amax в параметре b = (Xmax-Xmin)/2√−lnαmax. Подставляя в (2) α0 = πх(x0), x=x0, a и b, получим

αmax = exp{-(Xmax-Xmin)2)(-lnα0)/4(a-X0)2}. (3)

 

Пример. Пусть Xmax = 10, Xmin = 6, a = 8, x0 = 4, α0 = 1-102, lnα0 = -4,6. Из (2) найдем αmax = exp{-16×4,6/4×16} = 0,3.

 

В этом случае значение α выбирается не из [0,1], а из [0;0,3], то есть принятие решения о значении α упрощается и уточняется.

 

Для окончательного выбора значения α≤αmax в параметре b учитывается число измерений (испытаний), ответственность конструкции, стоимость, например, последствий разрушения и т. д. Пусть в предыдущем примере принято значение α = 0,2, то есть меньше αmax = 0,3. Найдем обеспеченность значения x = 4. В этом случае имеем b = (10-6)/22√-ln0,2 = 1,6; a = 8, R = 1, так как x = 4< a = 8 и πх(4) = 1,9х10-3, N(4) = 0,998.

 

Возможность и необходимость реализации события x = 4 при исходных статистических данных о величине x характеризуется интервалом [1;0,998].

 

Список литературы

  1. Уткин В.С., Кошелева Ж.В. Об оценке качества строительных материалов в зависимости от числа образцов // Строит. материалы. 2001. № 9. С. 26—27.
  2. Уткин В.С., Уткин Л.В. Определение надежности строительных конструкций: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. Вологда: ВоГТУ, 2000. 176 с.

 

Статья взята из журнала «Строительные материалы»